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L'idée de fractale est apparue comme une idée de symétrie
entre les grandes et les petites échelles. C'est par la naissance d'une
forme d'ordre inattendu, entre les variations des fluctuations des
petites échelles et celles des grandes, qu'elle prit d'abord naissance.
Considérées généralement comme du bruit parasite indésirable, ces
fluctuations aux petites échelles se sont vues soudain investies d'une
dimension et d'un sens tout à fait nouveaux et considérables : ceux
d'expliquer les variations aux grandes. Aussi étonnant que cela puisse
paraître, ces variations, petites ou grandes, semblaient suivre la même
loi d'évolution cyclique dans le temps.
C'est à Benoît Mandelbrot que l'on doit d'avoir découvert
ces correspondances, puis d'avoir mis à jour et approfondi ce concept d'invariance
d'échelle. Libre chercheur chez IBM et géomètre de génie, il
constata avec surprise ce phénomène en comparant à l'aide des premiers
ordinateurs la topologie de courbes de distribution. Que ce soit celle des
revenus ou celle de l'évolution des cours en bourse du coton, ces
variations graphiques dans les distributions présentaient d'étranges
similitudes.
Elles correspondaient à deux types différents d'effet
que Mandelbrot appela effet Noé et effet Joseph.
- L'effet Noé est celui qui correspond à une discontinuité brutale,
comme la chute brutale des cours boursiers par exemple
- L'effet Joseph est celui qui correspond à une persistance ou
permanence, comme la régularité des crues de certains fleuves par
exemple.
Cette idée d'invariance d'échelle, incongrue et
choquante au début, s'est imposée progressivement pour acquérir
aujourd'hui un statut géométrique à part entière. Un nouveau paradigme
venait de naître.
Car, en effet, cette idée bouleverse quelque peu la géométrie
euclidienne et deux mille ans de certitude. "Les nuages ne sont pas
des sphères" aime à dire Mandelbrot, les montagnes ne sont pas des
cônes, les éclairs ne se déplacent pas en ligne droite. Cette nouvelle
géométrie donne de l'univers une image anguleuse et non arrondie,
rugueuse et non lisse : c'est une géométrie du grêlé, du criblé,
du disloqué, du tordu, de l'enchevêtré, de l'entrelacé.
Pour comprendre la complexité de la nature, il fallait
soupçonner que cette complexité n'était pas seulement un hasard, un
accident. Il fallait avoir la conviction que la caractéristique intéressante
dans la trajectoire d'un éclair, par exemple, n'était pas sa direction,
mais la répartition de ses "zigs" et de ses "zags",
et que tout cela avait un sens.
Mandelbrot montra dans un célèbre article
"Combien mesure la côte de la Bretagne ?" que cette estimation
dépend de l'instrument de mesure utilisé, donc de la finesse de
l'observation, et en définitive, de l'observateur. Plus on descend dans
le détail, le détail du détail, le détail du détail du détail,
etc..., plus la longueur de la mesure de cette côte augmente. A l'échelle
microscopique, elle devient quasiment infinie, et à l'échelle atomique
on peut se poser légitimement la question de la validité du procédé de
mesure !
Ici resurgit le paradoxe du fini qui contient le non
fini, l'in-fini et donc l'infini, et que traduit l'indécidabilité
formelle de la mesure. La mesure et le mesureur participent activement du
phénomène observé et le modifie. La mesure est en effet très sensible
à l'instrument avec lequel elle est faite. Nous voyons réapparaître en
filigrane la notion d'indécidabilité, dont nous avons vu
plusieurs fois déjà qu'elle exprime une catégorie logique particulière,
ni vraie, ni fausse, mais simplement indécidable !
Le bon sens et notre perception nous disent pourtant
que la côte de Bretagne n'est pas infinie, ni même indéfinie. Cela se
saurait ! Et nos cartes routières arrivent bien à l'exprimer sur une
page ! Et pourtant... Si l'on part d'une image satellite de la côte de la
Bretagne (ou simulée plus simplement sur ordinateur), et que l'on zoom
successivement, disons d'un facteur cent, sur un détail, puis un détail
du détail, et encore ainsi, ad libitum ... on a de grandes chances de
retrouver des formes identiques quelques zooms plus loin. Il est difficile
alors de savoir où l'on est précisément, et à quelle échelle de
grossissement l'on se trouve, tant les formes rencontrées sont semblables
et recurrentes. On plonge alors dans un puits sans fond aux formes répétitives
dans lequel on se perd facilement. Les aviateurs le savent d'ailleurs fort
bien bien et évitent du mieux qu'ils peuvent les nuages, car leurs repères
et leur sens de la pespective disparaissent complètement, leur empêchant
toute appréciation correcte des distances.
Une autre approche, plus mathématique et conceptuelle,
de cette loi d'invariance d'échelle est celle des dimensions. Les
dimensions classiques : longueur, largeur et profondeur déterminent et définissent
des formes simples, le cube, la sphère, etc... Mandelbrot se détourna de
ces dimensions trop simples pour cette apparente impossibilité : les
dimensions fractionnaires. Cette notion est un acte conceptuel de
haute voltige. Elle exige de la part des non-mathématiciens un
renoncement volontaire à l'incrédulité. Pourtant elle s'avère extrêmement
puissante.
Une dimension fractionnaire permet de mesurer des
qualités qui autrement n'auraient pas de définition claire : le degré
de rugosité, de fragmentation, d'irrégularité d'un objet. Une côte
sinueuse par exemple, en dépit de son incommensurabilité en terme de
longueur, possède cependant un certain degré de rugosité caractéristique.
Mandelbrot donna des méthodes pour calculer la dimension fractionnaire
des objets réels en fonction de certaines données ou d'un procédé de
construction de forme, et sa géométrie lui permit d'énoncer une
affirmation sur les motifs irréguliers qu'il avait étudiés dans la
nature : le degré d'irrégularité reste constant sur différentes échelles.
Aussi surprenant que cela paraisse, cette affirmation est vraie. A maintes
reprises, le monde présente une irrégularité régulière.
La figure en annexe de la courbe de Koch, du nom du
mathématicien suédois qui l'a inventée en 1904, illustre parfaitement
ce propos. Cette courbe est infiniment longue, aussi longue qu'une droite
euclidienne qui s'étendrait jusqu'aux limites d'un univers sans borne. Ce
résultat paradoxal d'une longueur infinie contenue dans un espace fini
perturba de nombreux mathématiciens du début du XXeme siècle. La courbe
de Koch était un monstre irrespectueux de toute intuition raisonnable sur
les formes, pathologiquement différent de tout ce qu'on pouvait
rencontrer dans la nature.
Nous voyons que la longueur de cette courbe suit
une loi de progression géométrique, puisqu'à chaque itération,
le résultat obtenu est multiplié par 4/3. La dimension fractionnaire
ainsi obtenue est égale à 1,2618. Elle est davantage qu'une courbe,
sans être vraiment un plan, car sa dimension est supérieure à 1
mais reste inférieure à 2 !
Le tapis de Sierpinski et l'éponge de Menger, présentés
en annexe, sont d'autres exemples du même ordre. On peut penser en les
voyant à la structure de la Tour Eiffel, ramifiée en un réseau de
poutrelles de plus en plus fines. C'est une bonne approximation
tridimensionnelle.
A partir de cette dimension fractionnaire, Mandelbrot
inventa le terme de fractale, contraction de fracture (du latin
frangere: briser) et de fraction. Une figure fractale est avant tout une
figure invariante d'échelle. L'invariance d'échelle est une symétrie
qui se retrouve à toutes les échelles. Elle implique la récurrence
d’un motif à l'intérieur d'un motif. C'est une propriété
facilement reconnaissable, dont on retrouve une illustration simple dans
les réflexions infinies d'une personne se tenant entre deux miroirs, ou
dans les poupées russes qui s'emboîtent les unes dans les autres, mais
cet exemple n’est qu’une analogie grossière ; on s'arrête bien avant
l'infini.
La géométrie fractale semble bien être celle de la
nature, ou tout au moins, d'une partie.
Certaines formes comme l'organisation des squelettes
des animaux ne peuvent être de nature fractale car elles sont directement
liées à la gravité. Elles sont donc spécifiques d'une échelle donnée.
On retrouve cependant cette invariance d'échelle dans de nombreux
domaines naturels, comme par exemple la physique des tremblements de terre
- un petit a les mêmes caractéristiques qu'un grand -, ou encore dans
l'organisation arborescente des nuages, des flocons de neige, des chaînes
de montagnes, des côtes maritimes, des arbres ; en physiologie dans celle
des vaisseaux sanguins, des alvéoles pulmonaires; en astronomie dans
l'organisation des galaxies et des nuages interstellaires, etc...
On peut alors se poser cette question : comment la
nature est-elle parvenue à élaborer une architecture aussi compliquée ?
Selon Mandelbrot les ramifications de ces objets fractals admettent une
description d'une simplicité évidente, ne nécessitant que très peu
d'informations. Si l'ADN est certainement incapable de renfermer les plans
de l'immense multitude des bronches, bronchioles, alvéoles, ou de la
structure spatiale particulière de l'arbre résultant de leur
association, il pourrait fixer les règles d'un processus simple et itératif
de bifurcations et de croissance. Ce serait là un principe universel
de morphogenèse (hologrammatique ?). Cela a naturellement ouvert une
voie de recherche, et la compréhension de l'encodage et de la réalisation
de telles structures constitue désormais un défi majeur pour la
biologie.
Conclusion
La puissance de l'invariance d'échelle se manifeste à
des niveaux de complexité élevés. Il s'agit donc de l'appréhender
globalement en mettant en perspective deux choses : d'une part, la très
grande simplicité des lois de progression géométrique qui l'encode et
la génère - l'ADN par exemple est constitué uniquement de quatre acides
aminés de base - d'autre part, l'extraordinaire complication des enchevêtrements
et ramifications qui en résulte.
Une harmonie étrange et fascinante émerge de ce
mariage de l'ordre et du désordre des formes fractales. Répétons le,
cette géométrie du complexe simple dans son principe, compliquée
dans ses résultats, et qui participe activement des deux, est paradoxale
dans son essence : elle garde dans son infinitude la liberté de son
secret.
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L'ensemble de Mandelbrot
Préambule sur les nombres
complexes
Pour introduire l'ensemble de Mandelbrot dans notre
propos, voici un bref rappel de mathématiques élémentaires. Nous savons
tous que tous les nombres sont ou positifs, ou négatifs, ou égaux à zéro.
Par conséquent, tout nombre qui n'est ni positif, ni égal à zéro est nécessairement
négatif, et tout nombre qui n'est ni négatif ni égal à zéro est nécessairement
positif.
Maintenant, qu'en est-il de cette équation apparemment
inoffensive: x ² + 1 = 0 ? Si l'on transpose le 1 de l'autre coté de l'équation,
on obtient: x ² = -1 , puis: x = Ö - 1
Mais, dans un monde conceptuel construit de façon à
ce que tout nombre soit ou positif, ou négatif, ou égal à zéro, ce résultat
est inimaginable. Car, quel nombre, multiplié par lui même (élevé au
carré) pourrait donner -1 ?
En tout cas, imaginable ou pas, les mathématiciens,
physiciens et ingénieurs ont néanmoins depuis longtemps, nonchalamment
accepté la racine carrée de -1 et lui ont assigné le symbole i
signifiant imaginaire. Ils l'ont incluse dans leurs calculs, au même
titre que les trois catégories de nombres (positifs, négatifs et égaux
à zéro), et ont obtenu à partir d'elle des résultats pratiques,
concrets et parfaitement imaginables.
Mais, pour notre mode de penser, le nombre imaginaire i
est d'une fantastique irréalité. C'est précisément ce que l'élève Törless
exprime à sa façon, dans le roman de Robert Musil "Les désarrois
de l'élève Törless" page 126. Pour la première fois confronté
aux énigmatiques propriétés de i , Törless dit à un de ses camarades
de classe :
"Ecoute-moi bien, au début de tout calcul de ce
genre, on a des chiffres parfaitement solides qui peuvent symboliser des mètres,
des poids ou tout ce que l'on voudra de concret. C'est de semblables
chiffres que l'on retrouve à la fin de l'opération. Mais ces derniers
chiffres sont reliés aux premiers par quelque chose qui n'existe pas ! Ne
dirait-on pas un pont qui n'aurait que ses piles extrêmes et que l'on ne
franchirait pas moins tranquillement comme s'il était entier ? Pour moi,
ce genre de calcul a quelque chose de vertigineux ; comme si, à un moment
donné, il conduisait Dieu sait où ? Mais, le plus mystérieux à mes
yeux, c'est encore la force cachée dans une telle opération et qui vous
maintient d'une main si ferme que vous finissez quand même par aborder
sur l'autre rive."
Le nombre i n'est donc pas réel, mais élevé au carré,
il le redevient ! Il laisse donc à chacun la totale liberté d'imaginer
ce qu'il peut être ou ne pas être.
Venons en maintenant à l'ensemble
de MANDELBROT
Voici le programme permettant à partir d'un calcul itératif
sur les nombres complexes, de dessiner cet ensemble sous forme d'une image
fractale, maintenant bien connue de tout possesseur de micro-ordinateur.
Le programme qui permet de construire l'ensemble de
MANDELBROT ne comprend essentiellement que quelques instructions
(simplicité extrême des règles). Le mécanisme principal est en effet
constitué par une boucle qui définit le nombre complexe de départ et
lui applique la règle de calcul suivante : Z ==> Z ² + C où Z
commence à zéro et C est le nombre complexe correspondant au point à
tester. Donc prenez 0, multipliez le par lui même et additionnez le
nombre de départ; prenez le résultat - le nombre de départ -,
multipliez le par lui même et additionnez le nombre de départ; prenez ce
nouveau résultat, multipliez le par lui même et additionnez le nombre de
départ, etc...
L'arithmétique des nombre complexes est immédiate. Un
nombre complexe s'écrit en deux parties : par exemple, 2 + 3i (c'est la
position du point situé à 2 vers l'est et à 3 vers le nord dans le plan
complexe). Pour additionner deux nombres complexes, il suffit
d'additionner entre elles leurs parties réelles et leurs parties
imaginaires :
2 + 4i
+ 9 - 2i
-------------
= 11 + 2i
Pour multiplier deux nombres complexes, vous multipliez
chaque partie de l'un par chaque partie de l'autre puis vous additionnez
les quatre résultats obtenus. Comme, par définition des nombres
complexes, i multiplié par lui même est égal à -1, deux termes du résultat
se combineront entre eux.
2
+ 3i
x 2 + 3i
-----------------
6i + 9i²
4 + 6i
-----------------
= 4 + 12i + 9i²
= 4 + 12i - 9
= - 5 + 12i
Pour sortir de cette boucle, le programme surveille le
résultat de chaque itération: s'il s'éloigne vers l'infini, de plus en
plus loin sur l'origine du plan, le point initial n'appartient pas à
l'ensemble de MANDELBROT - c'est le cas si la partie réelle ou imaginaire
du résultat courant est supérieure à 2 ou inférieure à - 2, et le
programme peut alors passer à un autre point initial. Si, en revanche, le
programme effectue ses itérations sans que le résultat intermédiaire
soit supérieur à 2, le point initial appartient alors à l'ensemble de
MANDELBROT. Le nombre de ces itérations dépend du grossissement. Pour
une échelle accessible à un ordinateur personnel, 100 ou 200 est souvent
suffisant, et 1000 offre une bonne sécurité.
Le programme doit répéter ce processus pour chacun
des milliers de points d'un maillage, sur une échelle ajustable en
fonction du grossissement. Il doit également afficher le résultat sur l'écran.
On peut colorer en noir les points de l'ensemble, et en blanc les autres
points. On peut aussi, pour rendre l'image plus attrayante, remplacer les
points blancs par une gradation de couleurs. Si l'itération s'arrête au
bout de, par exemple, dix répétitions, le programme affiche un point
rouge; pour vingt répétitions, il affiche un point orange; pour quarante
répétitions, un point jaune, et ainsi de suite. Le choix des couleurs et
du nombre maximal d'itérations peut être adapté aux goûts du
programmeur. Ces couleurs révèlent la topographie du terrain à l'extérieur
de l'ensemble proprement dit.
L'image ci-dessous obtenue avec l'excellent programme FracZoom
Explorer représente l'agrandissement d'un détail de l'ensemble de
Mandelbrot. A noter la symétrie presque parfaite des huit bras
tentaculaire de la "pieuvre" ainsi formée. Les points de
complexité apparaissent en vert sur l'image à l'intérieur des bras. La
forme originelle de l'ensemble ressurgit régulièrement lors de
l'agrandissement de certains d'entre eux.
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Annexes
La courbe de Koch
D'une manière imagée, une fractale est un moyen de
voir l'infini. Imaginez un triangle équilatéral de 30 centimètres de côté.
Imaginez maintenant la transformation suivante, construite à partir d' un
ensemble de règles particulières, bien définies, que l'on peut itérer
facilement : prenez le tiers central de chacun des côtés, et accolez-lui
un nouveau triangle, de forme identique mais de dimensions trois fois plus
petites. On obtient une étoile de David. Au lieu des trois segments de 30
centimètres, le contour de la figure résultante se compose de douze
segments de 10 centimètres, et comprend six sommets au lieu de trois.
Prenez maintenant chacun des douze côtés et répétez
l'opération, en fixant un triangle plus petit sur leur tiers central, et
ainsi de suite jusqu'à l'infini. Le contour contient de plus en plus de détails.
Il ressemble à un flocon de neige idéalisé : c'est la courbe de Koch,
d'après Helge van Koch, un mathématicien suédois qui fut le premier à
la décrire en 1904.
La courbe de Koch ressemble aussi à "un modèle
grossier mais tout à fait suffisant de côte maritime", selon Benoît
Mandelbrot. Si le triangle de départ a des côtés égal à 1, soit un périmètre
de 3, le fait de rajouter à chaque fois au milieu de chaque côté un
triangle de côté égal à 1/3 multiple l'ensemble par 4/3. On a donc au
final : 3 x 4/3 x 4/3 x 4/3 ... c'est-à-dire l'infini ! Pourtant l'aire
de la figure résultante reste inférieure à celle du cercle circonscrit
au triangle initial. On a donc une courbe de longueur infinie entourant
une surface finie.
Le tapis de Sierpinski et l'éponge
de Menger
Construire avec des trous : Au début du XXeme
siècle, quelques mathématiciens conçurent des objets apparemment
monstrueux en ajoutant ou en enlevant une infinité d'éléments. L'un de
ces objets est le tapis de Sierpinski, construit en découpant en son
centre le neuvième de son aire, puis en découpant les centres des huit
petits carrés restants, et ainsi de suite. L'analogue tridimensionnel est
l'éponge de Menger, un réseau dont l'aire est infinie, mais dont le
volume vaut zéro.
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