Fractales de Markus-Lyapounov ou fractales du Figuier

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Introduction  La Formule Logistique (aussi appelée "dynamique de Verhultz") est une fractale particulière plus en rapport avec la vie réelle que les autres fractales. En effet, elle est utilisée pour modéliser, de façon rudimentaire, une population animale dans une region isolée.   En fait, la formule logistique est la plus simple des formules qui decrive un système dynamique chaotique; elle est de la forme :  y=ax+bx(1-x)+c.   Mais qu'est ce qu'un système dynamique? C'est un système examiné à intervalles réguliers. A l'instant n, le système est décrit par une variable X(n) qui ne dépend que de X(n-1). A partir d'un état initial arbitraire, on applique indéfiniment la loi et on regarde l'évolution des X(n) successifs.    - Convergent-ils vers une limite unique?    - Ont-ils un comportement régulier quand n tend vers l'infini?    - Font-ils n'importe quoi? On parlera alors de chaos. En effet, quand un évènement est imprévisible même si l'on connaît les facteurs ou les paramètres qui le font évoluer, et que son comportement semble aléatoire, on dit qu'il est chaotique       Algorithme      Pour chaque pixel sur l'axe des k (axe des abscisses), on applique la formule logistique: xn+1=axn+bxn(1-xn)+c   INIT fois à partir de x(0), puis encore NLYAP fois mais maintenant en inscrivant chaque fois le pixel (k,x) correspondant dans la figure. Pour k=kinitial à kfinal,       x <- x0       Pour i=0 à i=INIT           x<-ax+bx(1-x)+c       Pour i=0 à i=NLYAP           x<-ax+bx(1-x)+c            Afficher_pixel (k,x)    Méthode d'édition     Pour générer une telle fractale, il faut donc :  -  choisir un x0 arbitraire entre 0 et 1(sauf pour la première équation où il est entre -1 et 1)  -  choisir INIT et NLYAP  des entiers qui seront aussi grands que possibles pour que le calcul soit précis. Dans nos exemples, on a pris INIT=200 et NLYAP=300. Programme:  Figuier     "Figuier" est un programme permettant de générer la fractale issue de la formule logistique dans des fichiers ppm. Il prend en paramêtre un numéro correspondant à la formule logistique que l'on veut étudier: - 0 pour  xn+1=kxn2-1, - 1 pour  xn+1=kxn(1-xn), - 2 pour  xn+1=(1+k)xn-kxn2   Sources:   figuier.cc   Modélisation d'une population animale :        La formule logistique est un essai rudimentaire pour modéliser une population animale dans une région isolée. La variable X(n) représente le nombre d'animaux en l'an n. Si on suppose que le taux de croissance est constant, la population l'année suivante serait :    X(n+1)=KX(n)   Avec K constant. Or ceci serait peut raisonnable car on aboutirait à une explosion exponentielle de la population. Il faut donc considérer que le taux de de croissance K diminue avec l'augmentation de la population. Ceci est tout à fait compréhensible puisque la quantité de nourriture disponible pour chaque animal diminue quand la population croît. Afin d'exprimer cela, on pose : K=k(1-X(n)/Xmax)   Avec k le facteur de fécondité (constant) et Xmax la limite supérieure de la population (constante aussi). On pose alors x(n)=X(n)/Xmax et on obtient la formule logistique : x(n+1)=k*x(n)*(1-x(n))   Si on observe le graphe correspondant, on remarque que : -  Si la fécondité k est assez basse (k<3), la population modélisée par la formule logistique converge vers une unique valeur. Cette limite ne dépend pas de la valeur initiale. Si on modifie brutalement la population à un instant donné, on revient rapidement à cette limite. -  Si 3<k<3.45, la population oscille entre une valeur basse, avec nourriture abondante et forte croissance, et une valeur haute qui entraine famine et mortalité élevée.  -  Si on augmente encore la fécondité k, la population oscille entre 4, 8 ... valeurs puis elle semble varier au hasard. C'est le chaos.   Comme il a été dit plus haut, les limites de convergence de la population ne dépendent ni de la valeur initiale, ni d'une modification de la population animale. En fait, on revient toujours à un cycle appelé cycle limite.  Cependant, le retour à ce cycle est d'autant plus lent qu'on est proche du chaos. On parle aussi de "stabilité" d'autant plus grande que le retour est rapide. Cette stabilité peut être caractérisée par un nombre, l'exposant de Lyapounov, qui est en gros l'opposé de la stabilité. Liens     les fractales - projet ESSI2   Récursivité IFS Figuier Lyapounov Mandelbrot Julia Fractales Paysages fractals

xn+1=kxn2-1  k varie de 0 à 2 et x(0) = 0                 On aboutit à une sorte d'arbre couché, d'où le  nom de fracatale du figuier (tiré du nom du mathématicien Figenbaum).  Chaque pixel représente une valeur limite d'un xn.   x(n) converge vers une valeur unique si k est inférieur à 0.70 . Cette limite ne dépend pas de la valeur initiale. Chaque k entre 0.71 et 1.22 correspond à deux pixels : x oscille entre une valeur basse et une valeur haute. Quand on augmente encore k, x peut osciller entre 4 valeurs (k inférieur à 1.37), puis 8, 16, etc... . Puis pour k=1.5, il semble qu'il y ait une infinité de valeurs, entre lesquelles x semble varier au hasard. C'est le chaos.   Toutefois, le passage au chaos n'est pas définitif : on peut voir des lots sans pixel noir (k supérieur à 1.75), correspondant à une évolution plus régulière de x qui oscille à nouveau entre un petit nombre de valeurs. Deplus, on pourrait vérifier que si on modfie brutalement x au rang t, on revient rapidement à cette valeur.  xn+1=kxn(1-xn) k varie de 2.5 à 4 et x(0)= 0.5 On étudie une autre formule logistique mais les remarques précédentes restent valables. Si on agrandit la zone comprise entre k=3.41 et k=3.61, on voit qu'elle ressemble au dessin précédent; cette autosimilarité est un trait commun dans les images fractales. En fait, on peut voir que les bifurcations se répettent intérieurement à plus ou moins grande échelle.                   xn+1=(1+k)xn-kxn2 k varie de 1.9 à 3 et x(0) = 0.25 Le graphe a été recentré sur l'axe des ordonnées afin de donner une meilleure représentation.

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