Introduction
- Lyapounov est un mathématicien russe qui vécut à la fin du 19ème
siècle, soit bien avant l'invention des calculateurs. Quel rôle a
donc t'il joué ?
- En fait, l'exposant de Lyapounov caractérise la rapidité à
revenir au
cycle limite. On parle de "stabilité" d'autant plus
grande que le retour est rapide et d'autant plus petite qu'on est
proche du chaos..
- L'exposant de Lyapounov est en gros l'opposé de la stabilité.
- Il est négatif pour les évolutions stables et est positif quand
le chaos est présent.
- Mario Markus a imaginé des systèmes à peine plus complexes que
la formule
logistique, où la fécondité
alternerait entre deux valeurs k1 et k2, selon une loi périodique
représentée par une suite de 1 et de 2 (exemple :
"111122221").
- Selon les valeurs de k1 et k2, ces systèmes
peuvent conduire à des cycles réguliers ou à des évolutions
chaotiques. La stabilité ou le chaos peuvent s´étudier en
calculant l'exposant de Lyapounov via l'algorithme qui suit en
appliquant à k la loi périodique.
- L'image de Markus est une visualisation en
"fausses couleurs" de l'exposant de Lyapounov avec k1 et
k2 sur les axes horizontaux et verticaux pour une racine k donnée.
L'exposant de Lyapounov est donné par la formule :
L= 1/N sum(n=1..N)
log | k(1-2xn)| / log (2)
- Choisir un domaine de variation
pour k1 et k2.
- Choisir la loi périodique.
Pour k2_pixel=0 à
longueur de l'image
Pour k1_pixel=0
à hautuer de l'image
Calcul k1 et k2
x <- x0
Pour i=0 à i=INIT
x<-ax+bx(1-x)+c
Pour i=0 à i=ITER
x<-ax+bx(1-x)+c
exp<-exp+log | k(1-2xn)|
/ log (2)
L<-L / ITER
Colorisation_pixel (k1_pixel,k2_pixel)
en foncion de la valeur de L.
- Pour générer une image de Markus, il faut prendre les entiers
INIT et ITER les plus grands possibles.
- Dans notre exemple, on a pris INIT=400 et ITER=800 et on a pris
comme loi périodique "1122".
Programme: Exposant
"Exposant" est un
programme permettant de générer une image de Markus dans un
fichier ppm.
Liens
- les fractales - projet ESSI2
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Images de Markus
- On considére la formule logistique xn+1=kxn(1-xn)
avec k1 et k2 variant de 3 à 4 et
x(0)= 0.5.
De plus, on prend :
- INIT=400
- ITER=800.
Enfin, on a choisit comme loi périodique "1122".
- Le seuil du chaos est représenté par le
passage du jaune (exposants positifs : c'est le chaos) au vert
(exposants négatifs : on est dans le domaine stable).
- On considére la formule logistique xn+1=kxn(1-xn)
avec k1 variant de 3.54 à 3.67 et k2 variant
de 3.45 à 3.61 et x(0)= 0.5.
De plus, on prend :
- INIT=400
- ITER=800.
Enfin, on a choisit comme loi périodique "22121".
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